Новая методика!

Изучение английского в игровой форме. Новинка 2017-2018 годов. Даже самые ленивые добиваются результатов с нами!

Узнать детали!

Не интересно!

Пошук на сайті від Google

Пошук на сайті від Yandex

Рання грецька математика та астрономія

У цій главі я торкаюся математики не самого по собі, а в її зв'язку з грецькою філософією - зв'язку, яка була дуже тісному, особливо у Платона. У математиці та астрономії перевагу греків проявилося більш визначено, ніж де-небудь ще. Те, що вони зробили в мистецтві, літературі та філософії, може бути оцінено в залежності від смаку вище або нижче, але те, чого вони досягли в геометрії, абсолютно безперечно. Дещо вони успадкували від Єгипту, де-не-що, набагато менше, - від Вавилонії; що стосується математики, то вони отримали з цих джерел головним чином прості прийоми, а в астрономії - записи спостережень за дуже довгий період. Мистецтво математичного докази майже цілком грецького походження.

Ірраціональні числа, крім кореня квадратного з 2, вивчалися в окремих випадках Феодором, сучасником Сократа, і в більш загальному вигляді Теетет, який жив приблизно в часи Платона або, може бути, трохи раніше. Демокріт написав трактат про ірраціональних числах, але про зміст цього трактату відомо дуже небагато. Платон глибоко цікавився цією проблемою; він згадує про праці Феодора і Теетет в діалозі, названому на честь останнього. У «Законах» (819-820) він говорить, що загальне неуцтво в цій області ганебно, і натякає, що сам дізнався про це в досить пізньому віці. Відкриття ірраціональних чисел, безумовно, мало велике значення для піфагорейської філософії.

Одним з найважливіших наслідків відкриття ірраціональних чисел було створення Евдокса геометричній теорії пропорції (408-355 роки до н.е.). До нього існувала лише арифметична теорія пропорції. Відповідно до цієї теорії, ставлення а до b дорівнює відношенню с до d , якщо а , узяте d раз, так само b , узятому с раз. Це визначення, за відсутністю арифметичної теорії ірраціональних чисел, може застосовуватися тільки до раціональних. Однак Евдокс дав нове визначення, яке не підкоряється цьому обмеженню, - у формі, що наближається до методів сучасного математичного аналізу. Ця теорія розвинена далі Евкліда і відрізняється великим логічним витонченістю.

Евдокс також винайшов або удосконалив «метод вичерпання», який потім з великим успіхом був використаний Архімедом. Цей метод є передбаченням інтегрального числення. Взяти, наприклад, питання про площу кола. Ви можете вписати в коло правильний шестикутник або правильний двенадцатіугольнік, або правильний багатокутник з тисячею або мільйоном сторін. Площа такого багатокутника, скільки б у нього не було сторін, пропорційна квадрату діаметра кола. Чим більше сторін має багатокутник, тим більше він наближається до кола. Можна довести, що якщо багатокутник має досить великою кількістю сторін, то різниця між його площею і площею кола буде менше будь-який наперед заданої величини, хоч би якою малою вона не була. Для цієї мети використовується аксіома Архімеда. У ньому записано (якщо її дещо спростити), що якщо більшу з двох величин розділити навпіл, а потім половину знову розділити навпіл і так далі, то після кінцевого числа кроків буде досягнута величина, яка виявиться менше, ніж менша з двох первинних величин. Іншими словами, якщо а більше, ніж b , то є таке ціле число n , що 2n · b буде більше, ніж а .

Метод вичерпання веде іноді до точного результату, наприклад, під час розв'язання задачі про квадратуру параболи, яка була вирішена Архімедом; іноді ж, як при спробі обчислити квадратуру кола, він може вести лише до послідовних наближень. Проблема квадратури кола - це проблема визначення відношення довжини кола до діаметру кола, званого «π». Архімед у своїх обчисленнях використав наближення 22 / 7; шляхом вписування і описування правильного багатокутника з 96 сторонами він довів, що «π» менше, ніж 3 1 / 7, і більше, ніж 3 10/71. Цим методом можна домогтися будь-який необхідного ступеня наближення, і це все, що якою б то не було метод може зробити для вирішення даної проблеми. Використання вписаних і описаних многокутників для наближення до «π» сходить ще до Антифон, сучаснику Сократа.

Евклід, праці якого в дні моєї молодості все ще залишалися єдиним визнаним підручником геометрії для школярів, жив в Олександрії близько 300 року до н. е.., через деякий час після смерті Олександра Македонського і Арістотеля. Велика частина його «Начал» не була оригінальним твором, але порядок у послідовності теорем і логічна структура були в основному його власними. Чим більше вивчаєш геометрію, тим більше зачаровує вони здаються. Інтерпретація паралельних допомогою знаменитого постулату про паралельні має подвійне гідність: дедукція тут строга і в той же час вони не повинні закривати сумнівність вихідного припущення. Теорія пропорції (потрійне правило), якої дотримується Евдокс, обходить всі труднощі, пов'язані з ірраціональними числами, за допомогою методів, по суті, схожих з тими, які були введені в математичний аналіз Вейєрштрасса в XIX столітті. Потім Евклід переходить до свого роду геометричній алгебрі і трактує в книзі X ірраціональні числа. Після цього він переходить до розгляду просторової геометрії, закінчуючи побудовою правильних багатогранників, яке було вдосконалено Теетет і прийнято в «Тимеї» Платона.

«Начала» Евкліда є, безумовно, однією з найбільших книг, які були коли-небудь написані, і одним з найдосконаліших пам'яток давньогрецького інтелекту. Звичайно, книга ця носить і риси типові грецької обмеженості: метод в ній чисто дедуктивний і не містить в собі способу перевірки вихідних припущень. Ці припущення вважалися незаперечними, але в XIX столітті неевклідова геометрія показала, що частково вони могли бути помилковими і що тільки спостереження здатне вирішити, чи є вони такими.

Евклід зневажав практичну корисність, яку впроваджував Платон. Кажуть, що один учень, прослухавши докази, запитав, що виграє він вивченням геометрії; тоді Евклід покликав раба і сказав: «Дай молодій людині гріш, оскільки він неодмінно повинен отримувати вигоду з того, що вивчає». Однак презирство до практики було прагматично виправдано. Ніхто не припускав за часів греків, що вивчення конічних перерізів принесе яку-небудь користь: але, нарешті, в XVII столітті Галілей відкрив, що снаряди рухаються по параболі, а Кеплер - що планети рухаються по еліпсах. Несподівано та робота, яку греки виконали з чистої любові до теорії, стала ключем до ведення війни і до розвитку астрономії.

Римляни були занадто практичними людьми, щоб належним чином оцінити Евкліда; першим з них, хто згадав про нього, був Цицерон , за часів якого, можливо, не було латинського перекладу творів Евкліда, і справді, немає письмового свідоцтва існування латинського перекладу до Боеція (480-524 роки н.е.). Араби оцінювали його краще: примірник творів Евкліда був подарований каліфа візантійським імператором близько 760 року до н.е., а при Гарун аль-Рашид, близько 800 року до н.е., був зроблений переклад на арабську мову. Перший зберігся до нашого часу латинський переклад з арабської був зроблений Аделярдом з Бата в 1120 році н.е. З цього часу вивчення геометрії поступово відроджувалося на Заході, але лише в епоху пізнього Відродження були досягнуті важливі успіхи в цій справі.

Тепер я переходжу до астрономії, в якій досягнення греків були настільки ж чудові, як і в геометрії. Ще до них вавілоняни і єгиптяни заклали основи астрономії багатьма сторіччями спостережень. Було зареєстровано видимий рух планет, але не було відомо, що ранкова і вечірня зірка - це одне й те саме. У Вавілонії безумовно, а можливо, і в Єгипті, було відкрито період затьмарень, що зробило досить достовірним пророкування місячних затемнень (але не сонячних, оскільки вони не завжди були видимі в даному місці). Вавілонянам ми зобов'язані поділом прямого кута на 90 градусів, а градуса - на 60 хвилин; їм подобалася цифра 60, і на ній вони заснували навіть систему числення. Греки любили приписувати мудрість своїх первоісследователей подорожей до Єгипту, але в дійсності до греків досягнуте було дуже небагато. Однак пророкування сонячного затемнення Фалесом є прикладом іноземного впливу; немає підстави припускати, що він додав що-небудь до того, чого навчився з єгипетських і вавілонських джерел, і чистою удачею було те, що його передбачення збулося.

Почнемо з деяких найбільш ранніх відкриттів і правильних гіпотез. Анаксимандр думав, що Земля вільно плаває і нічим не підтримується. Аристотель, який часто відкидав найкращі гіпотези свого часу, заперечував проти теорії Анаксімандра, згідно з якою Земля, будучи в центрі, залишається нерухомою тому, що у неї немає причини рухатися в цьому, а не в іншому напрямку (295b). Якщо б це було правильно, говорив він, то людина, якого помістили в центрі кола, в різних точках окружності якого знаходиться їжа, помер би з голоду через відсутність причини вибрати саме ту, а не іншу їжу. Цей аргумент з'являється знову в схоластичної філософії, але у зв'язку не з астрономією, а з питанням про свободу волі. Він з'являється у формі розповіді про «Бурідановом віслюку», який не зміг вибрати одну з двох охапок сіна, поміщених на рівній відстані ліворуч і праворуч від нього, і тому загинув голодною смертю.

Цілком ймовірно, Піфагор першим почав думати, що Земля сферична, але його аргументи, треба думати, належали швидше до галузі естетики, ніж науки. Проте скоро були знайдені і наукові докази. Анаксагор відкрив, що Місяць світить відбитим світлом, і дав правильну теорію затемнень. Сам він ще думав, що Земля плоска, але форма тіні Землі при місячних затемнення дала піфагорійцям остаточні аргументи на користь того, що Земля сферична. Вони пішли далі і розглядали Землю як одну з планет. Вони знали (кажуть, з вуст самого Піфагора), що ранкова зірка і вечірня зоря - одне й те саме, і вважали, що всі планети, включаючи Землю, рухаються по колу, але не навколо Сонця, а навколо «центрального вогню». Вони відкрили, що Місяць завжди обернений до Землі однією і тією ж стороною, і вважали, що Земля завжди повернена однією стороною до «центрального вогню». Середземноморські райони постійно знаходяться на тій стороні, яка повернена від «центрального вогню», і він тому для них завжди невидимий. «Центральний вогонь» називався «будинком Зевса» або «Матір'ю богів». Передбачалося, що Сонце сяє світлом, відбитим від «центрального вогню». Крім Землі, було інше тіло, контр-Земля, що знаходиться на тій же відстані від «центрального вогню». Для цього у них було дві підстави: одне наукове, а друге, що випливає з їх арифметичного містицизму. Науковим підставою служило правильне спостереження, що місячне затемнення часом відбувається тоді, коли і Сонце і Місяць разом знаходяться над горизонтом. Заломлення променів (рефракція), що становить причину цього феномену, було їм невідомо, і вони думали, що в таких випадках затемнення має викликатися тінню якогось іншого тіла, а не Землі. Другою підставою служили тим, що Сонце і Місяць, п'ять планет, Земля, контр-Земля і «центральний вогонь» складали 10 небесних тіл, а десять було містичним числом у піфагорійців.

Ця Піфагорійська теорія приписується Філолай, фіванці, який жив наприкінці V століття до н.е. Хоча вона і нереальна і певною мірою абсолютно ненаукова, вона дуже важлива, оскільки включає в себе більшу частину тих зусиль уяви, які знадобилися, щоб зародилася гіпотеза Коперника. Почати думати про Землю не як про центр Всесвіту, але як про одну з планет, не як про навіки прикріпленою до одного місця, але як про блукаючої в просторі, - свідоцтво незвичайного звільнення від антропоцентричного мислення. Коли було завдано удару стихійно склалися уявленнями людини про Всесвіт, було не таким вже й важко за допомогою наукових аргументів прийти до більш точної теорії.

Цьому сприяли різні спостереження. Енопід, що жив трохи пізніше Анаксагора, відкрив нахил екліптики. Скоро з'ясувалося, що Сонце має бути багато більше Землі; факт цей підкріплював думку тих, хто заперечував, що Земля є центром Всесвіту. Теорії «центрального вогню» і контр-Землі були відкинуті піфагорійцями незабаром після Платона. Гераклід Понтійський (який жив приблизно з 388 по 315 рік до н.е., сучасник Арістотеля) відкрив, що Венера і Меркурій обертаються навколо Сонця, і прийняв ту точку зору, що Земля робить повний оберт навколо своєї власної осі кожні 24 години. Це відкриття було дуже важливим кроком вперед, якого не зробив жоден його попередник. Гераклід був послідовником школи Платона і, мабуть, був великою людиною, але він не користувався тією повагою, якого слід було очікувати, його описують як товстуна-щиголя.

Аристарх Самоський, який жив приблизно з 310 по 230 рік до н.е. і був, таким чином, років на двадцять п'ять старше Архімеда, - найцікавіший з усіх давніх астрономів, тому що він висунув гіпотезу (повністю схожу з гіпотезою Коперника), згідно з якою всі планети, включаючи Землю, обертаються по колах навколо Сонця і Земля здійснює оберт навколо своєї осі протягом двадцяти чотирьох годин. Злегка розчаровує той факт, що єдиний працю Аристарха «Про відстанях Сонця і Місяця» виходить з геоцентричної точки зору. Правда, що для тих проблем, які трактуються в цій книзі, абсолютно не важливо, яка теорія в ній прийнята, і тому, може бути, він думав, що нерозсудливо вступати в своїх обчисленнях в зайві суперечності з загальною думкою астрономів; або, бути може , він дійшов гіпотези, подібної з коперніковской, вже після того, як написав цю книгу. Томас Хіс у своїй роботі про Аристарха, в якій міститься текст цієї книги з перекладом, схиляється до останнього припущенням. У всякому разі, доказ того, що Аристарх висунув точку зору, схожу з коперніковской, цілком переконливо.

Найпершим і найкращим є свідоцтво Архімеда, який, як ми бачили, був молодшим сучасником Аристарха. У листі Сіракузького царя Гелон він повідомляв, що Аристарх опублікував «книгу, що складається з якихось гіпотез», і далі: «Його гіпотези такі, що зірки нерухомі і Сонце залишається нерухомим, що Земля обертається навколо Сонця по колу, причому Сонце лежить в центрі орбіти ». Клеант, говориться в одному місці у Плутарха, «думав, що борг греків - звинуватити Аристарх Самоський до безбожности за те, що він привів в рух Вогнище Всесвіту (тобто Землю), причому то був результат його спроби" врятувати явища "припущенням, ніби небо залишається в спокої, а Земля рухається по похилій колу і в той же час обертається навколо своєї власної осі ». Клеант був сучасником Аристарха і помер близько 232 року до н.е. У іншому уривку з Плутарха говориться, що Аристарх висував цей погляд лише як гіпотезу, але що його послідовник Селевк підтримував це як певну точку зору (розквіт діяльності Селевка - близько 150 року до н.е.). Аецій і Секст Емпірика також стверджують, що Аристарх висунув гіпотезу геліоцентричну, однак не говорять, що це була в нього тільки гіпотеза. Але навіть якщо він зробив саме так, здається досить імовірним, що він, як і Галілей 2000 років по тому, піддався боязні образити релігійні забобони (страх, який, як показує позиція згаданого вище Клеанта, був цілком обгрунтованим).

Гіпотеза , подібна до гіпотезою Коперника, після того як вона була висунута Аристархов - у вигляді чи позитивному або як спроба, - була остаточно прийнята Селевко, але більше ні одним давнім астрономом. Це загальне заперечення в основному було зобов'язане Гіппарх, який жив з 161 по 126 рік до н.е. Він охарактеризований Хісом як «найбільший астроном старовини» . Він перший систематично займався питаннями тригонометрії, відкрив прецесію рівнодійної, розрахував довготу місячного місяця з помилкою менш ніж в одну секунду, поліпшив зроблені Аристархов розрахунки розмірів Місяця і Сонця і відстаней до них, створив каталог восьмисот п'ятдесяти нерухомих зірок, вказав широту і довготу де вони знаходяться. Як би на противагу геліоцентричної гіпотезі Аристарха він прийняв і поліпшив теорію епіциклів, створену Аполлонія, діяльність якого відноситься до 220 року до н.е. Саме ця теорія в своєму розвитку відома пізніше як система Птолемея (за ім'ям астронома Птолемея, який жив у середині II століття н.е.).

Коперник дізнався дещо, хоч і не багато чого, з майже забутої гіпотези Аристарха і був обрадуваний тим, що знайшов стародавній авторитет для підтримки свого нововведення. Крім того, вплив цієї гіпотези на подальший розвиток астрономії було практично нульовим.

Стародавні астрономи, обчислюючи розміри Землі, Місяця і Сонця і відстані до Місяця і Сонця, користувалися теоретично правильними методами, але їм бракувало точних вимірювальних приладів. Багато результати, досягнуті ними, були - якщо врахувати цей недолік - надзвичайно точні. Ерастосфен визначив діаметр Землі в 7850 миль, тобто з помилкою приблизно лише в 50 миль. Птолемей розрахував, що середня відстань до Місяця в 29,5 рази більше діаметра Землі (правильна цифра - близько 30,2). Ніхто з них не міг наблизитися до точного обчислення розмірів Сонця і відстані до нього, усі вони применшували цю відстань. За їх розрахунками, воно було рівне:

за Аристарх - 180,

за Гіппарх - 1245,

за Посідоній - 6545 земним діаметрам.

Правильна цифра - 11 72'6 земних діаметрів. Надалі ці розрахунки весь час виправлялися (у Птолемея, однак, помилка в обчисленнях збільшується; у Посідоній ця відстань складає близько половини правильної цифри. В цілому ж подання цих астрономів про Сонячну систему були не настільки вже далекими від істини.

Грецька астрономія була геометричній, а не динамічною. Старовинні представляли рух небесних тіл як рівномірний і круговий або як складену з кругових рухів. Вони не мали поняття сили . Були сфери, які рухалися як щось ціле і на яких знаходилися різні нерухомі небесні тіла. З появою Ньютона і його закону тяжіння була введена нова точка зору, менш геометрична. Цікаво відзначити повернення до геометричної точки зору в загальній теорії відносності Ейнштейна, з якої вигнана концепція сили в ньютоновском сенсі.

Проблема для астронома така: за даними видимих рухів небесних тіл ввести по гіпотезі третю координату - глибину - таким чином, щоб зробити опис явища як можна більш простим. Головним в гіпотезі Коперника є не істина , але простота; у зв'язку з відносністю руху питання про істину не ставиться зовсім. Греки в своїх пошуках гіпотез, які «врятували б явища», на ділі, хоча і не зовсім навмисно, намагалися впоратися з цією проблемою правильним науковим шляхом . Порівняння їх з попередниками і наступниками до появи Коперника має переконати всіх дослідників у їх воістину дивовижному генії.

Два великих людини - Архімед і Аполлоній - в III столітті до н.е. завершують список першокласних грецьких математиків. Архімед був інший, можливо, і двоюрідним братом царя Сіракуз і був убитий, коли місто захопили римляни в 212 році до н.е. Аполлоній з юнацьких років жив в Олександрії. Архімед був не тільки математиком, але й фізиком і вивчав гідростатики. Аполлоній в основному відомий своїми роботами по конічних перетинах. Цим я обмежуся при їх розгляді, так як вони жили в епоху занадто пізню, щоб надати вплив на філософію.

Після цих двох людей, хоча значна робота тривала в Олександрії, великий вік закінчився. При римському пануванні греки втратили цю впевненість в собі, яка властива політичної свободи, і, втративши її, придбали «паралізує» повагу до своїх попередників. Римський солдатів, який вбив Архімеда, був символом загибелі оригінального мислення, яку принесло римське панування всьому еллінізму світу.

Історія західної філософії

Випадкова стаття